Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 551
i

ABCDA1B1C1D1  — куб. Точка K лежит на ребре AB куба так, что AK : KB  =  2 : 1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те фи конец дроби , где φ  — угол между пря­мы­ми A1K и B1D1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ребро куба равно 1. Вве­дем де­кар­то­вую си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке B. Имеем: A_1 левая круг­лая скоб­ка 1; 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , K левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B_1 левая круг­лая скоб­ка 0; 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , D_1 левая круг­лая скоб­ка 1; 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра \overrightarrowA_1K:

\overrightarrowA_1K = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 1; 0 минус 0; 0 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 0; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра \overrightarrowB_1D_1:

\overrightarrowB_1D_1 = левая круг­лая скоб­ка 1 минус 0; 1 минус 0; 1 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 1; 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем ко­си­нус угла между век­то­ра­ми \overrightarrowA_1K и \overrightarrowB_1D_1:

ко­си­нус фи = дробь: чис­ли­тель: \overrightarrowA_1K умно­жить на \overrightarrowB_1D, зна­ме­на­тель: |\overrightarrowA_1K| умно­жить на |\overrightarrowB_1D_1| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 1 плюс 0 умно­жить на 1 плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 0, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те фи конец дроби :

дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те фи конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби конец дроби = 12 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 78.

Ответ: 78.

Сложность: V
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025